Соотношения между преобразованиями Радона, Фурье и лучевым преобразованием

В предыдущих параграфах были рассмотрены формулы непосредственного обращения лучевого преобразования. Существуют также методы томографической реконструкции, основанные на предварительном вычислении преобразования Фурье искомой функции или ее преобразования Радона. Как уже отмечалось ранее, в случае двух переменных лучевое преобразование и преобразование Радона совпадают. В трехмерном пространстве v это разные преобразования.

Для понимания сути методов томографии весьма полезны соотношения между различными видами преобразований. Многие такие соотношения можно получить в пространствах любой размерности. Однако здесь мы будем, как правило, рассматривать практически важные случаи двух и трех переменных.

Соотношение между преобразованиями Радона и Фурье.

Пусть - преобразование Фурье функции f(x1, x2, x3):

.

Интегрируя сначала при фиксированном p по плоскости l 1x1 + l 2x2 + l 3x3 = p, а затем по p приходим к хорошо известному выражению, связывающему преобразования Фурье и Радона

. (2.3.1)

Соотношение между преобразованием Радона и преобразованием Фурье лучевых данных.

В [21] предложен способ инвертирования лучевого преобразования, основанный на том, что по исходным данным восстанавливается преобразование Радона функции f(x)

,

что позволяет по известным формулам восстановить f(x).

При выводе формул обращения в работе используется функция

. (2.3.2)

Можно показать что для функций и справедливо соотношение

, (2.3.3)

здесь С v некоторая константа. Равенства (2.3.2) и (2.3.3) дают связь между преобразованием Радона и лучевым преобразованием в трехмерном пространстве:

, (2.3.4)

Отметим также, что поскольку

, . Равенство (2.3.4) может быть записано в виде . Из последнего равенства и определения функции следует, что функция x постоянна на плоскостях, ортогональных вектору x , так как для всех x, принадлежащих такой плоскости, скалярное произведение (x, x ) равно константе. Этот факт лежит в основе многих методов обращения лучевого преобразования. Это утверждение получено в [40], для случая комплексных пространств. Для действительных пространств это утверждение содержится в работах. Оно и может быть использовано для восстановления функции в точках x, принадлежащих области D, по значениям на ее границах.

Соотношение между преобразованием Фурье лучевых данных и преобразованием Фурье искомой функции f(x).

В работе получено равенство:

, (2.3.5)

устанавливающее связь между преобразованием Фурье лучевых данных и преобразованием Фурье самой функции f, преобразование Фурье понимается в смысле обобщенных функций. Для того, чтобы использовать эту формулу для нахождения функции f нужно иметь формулы для вычисления обобщенного преобразования Фурье по лучевым данным. Такие формулы были приведены выше.